大模数硬齿面滚剃刀齿形的近似造型法
1 引言机械传动技术的发展对齿轮零件的性能要求越来越高，为了获得承载能力大、抗点蚀能力强、传动精度高、表面质量好的齿轮产品，淬硬齿面（hrc48～ 62）齿轮加工技术已成为齿轮制造业的研究热点。 硬齿面滚剃刀是一种用于硬齿面终加工的新型齿轮刀具，它既保留了硬质合金刮削滚刀的特点，又具有盘形剃齿刀密齿和刃带的优点，同时采用了圆磨法滚刀的圆磨工艺方法。该刀具加工硬齿面齿轮时，采用“连滚带剃”的切削方式，可获得较高的加工精度、切削效率和较低的表面粗糙度值。设计、制造硬齿面滚剃刀的技术关键之一是获得高精度的滚剃刀齿形，尤其对于大模数滚剃刀，由于齿形曲线弧较长，要达到较高齿形精度难度更大。因此，根据硬齿面滚剃刀齿形的制造方法，通过选择合理的齿形近似造型方法以提高滚剃刀齿形精度，是滚剃刀设计、制造的重要内容。 2 滚剃刀齿形制造方法滚剃刀齿形的制造采用圆磨渐开线蜗杆的方法，使滚剃刀两侧刀刃的齿形位于渐开线蜗杆上。砂轮的轴截面相对于滚剃刀的轴线旋转一个分圆螺旋升角，使砂轮轴截面与滚剃刀齿槽的分圆法截面重合，将砂轮放入滚剃刀齿槽中，砂轮与滚剃刀按各自轨迹运动即可进行圆磨加工。滚剃刀齿槽分圆的法截面两侧齿形左右对称，磨完一侧后将滚剃刀掉头再磨另一侧即可。 理论上，根据已知的滚剃刀渐开线蜗杆和接触线条件求出接触线，再将接触线绕砂轮轴线回转即可得到砂轮回转面及其轴截面形状，但由于求出的接触线是一条空间复杂曲线，按此修整砂轮非常困难。因此，在实际操作中多采用近似方法，即首先求出滚剃刀渐开线蜗杆齿槽分圆的法截面曲线，然后将该曲线绕砂轮轴线回转而获得砂轮回转面，由此产生的误差很小，可忽略不计。由于滚剃刀的法截面曲线为复杂的平面曲线，砂轮修整难度较大，因此可利用简单曲线对滚剃刀法截面曲线进行近似造型，并将造型误差控制在很小范围内。该方法既可降低砂轮修整难度，又能获得较高齿形精度。 3 滚剃刀渐开线蜗杆法截面齿形的近似造型
图1 直线造型误差
图2 圆弧造型误差
直线拟合法 用直线拟合滚剃刀渐开线蜗杆法截面齿形曲线显然可降低砂轮修整难度，但由此产生的近似造型误差能否保证要求的齿形精度则需通过计算予以验证。为使直线与滚剃刀渐开线蜗杆法截面齿形曲线的拟合达到*状态，它们之间必须具有两个交点，由此产生的三个拟合误差极值如图1所示。e1、e3分别为齿根、齿顶的zui大拟合误差，e2为齿中部某点的zui大拟合误差。为实现*拟合，应使三个拟合误差的值相等，即e1=-e2=e3，zui大拟合误差?e=max{|e1-e2|，|e3-e2|}。可通过优化计算实现上述要求。 拟合时，首先设直线方程为x=kz+c，确定e1、e2、e3的计算公式后，建立目标函数f=|e1+e2|+|e2+e3|，设计变量为直线斜率k 和常数c，可通过两个交点的不断移动变化来反映。当f 趋近于0时，即达到*拟合，根据交点位置可求出k、c 值，从而确定直线位置。 圆弧拟合法 图2 所示为用圆弧拟合滚剃刀渐开线蜗杆法截面齿形曲线。渐开线蜗杆法截面齿形曲线仍具有渐开线性质，即距基圆越近的点其曲率半径越小，距基圆越远的点其曲率半径越大。在图2 所示法截面齿形中，a点代表齿根，接近基圆，b 点代表齿顶，远离基圆，a点到b点的曲率半径由小变大。由于圆弧上各点的曲率半径相同，因此若选取一个曲率半径大于a点、小于b点的圆弧与法截面齿形曲线拟合造型，会出现三个交点和四个拟合极值误差e1、e2、e3、e4。为达到*拟合，提高造型精度，需不断改变三个交点的位置，使e1=-e2=e3=-e4，并据此进行优化计算。 拟合时，设拟合圆弧方程为（z-zc）2+（x-xc）2=r2，则拟合极值误差为 ei=r-[（zi-zc）2+（x1-xc）2]? （i=1，2，3，4）式中：r——拟合圆弧半径 zc，xc——拟合圆弧的圆心坐标 z1，x1——滚剃刀渐开线蜗杆法截面曲线拟合极值误差处的坐标 建立优化目标函数为f=|e1+e2|+|e2+e3|+|e3+e4|+|e1+e4|，设计变量为zc、xc、r，优化计算时反映为三个交点的不断移动变化。当f 趋近于0时，即达到*拟合，求得zui大拟合误差?e=max{|e1-e2|，|e3-e2|，|e1-e4|，|e3-e4|}。根据*拟合状态下三个交点的位置，即可求出zc、xc、r 值，从而确定拟合圆弧的位置和半径。
图3 双曲线拟合
图4 双曲线造型误差
双曲线拟合法 一条与回转轴距离为h、倾斜角为a的直线绕回转轴旋转，可得到一个方程为x2/h2+y2/h2-z2/（h/tana）2=1 的回转双曲面。沿双曲面回转轴线任意方向剖开均可得到双曲线，按该直线轨迹修整砂轮可得到轴截面为双曲线的砂轮。图3所示为用双曲线拟合滚剃刀渐开线蜗杆的法截面齿形曲线。双曲线是绕砂轮轴旋转获得的，其坐标系为o'-z'x'，线段a'b'为双曲线上的一段。o-zx 为滚剃刀法截面齿形曲线所在坐标系，ab 为滚剃刀的法截面齿形曲线，a表示齿根，b表示齿顶。两曲线拟合时，需对o'-z'x'坐标系进行坐标变换，经平移、旋转后与ozx坐标系重和，并使两曲线的坐标系相同。 由于滚剃刀法截面齿形曲线的曲率半径从a点到b点逐渐变大，根据曲率半径公式求得双曲线曲率半径从a'点到b'点逐渐变小，因此应选择合适参数使双曲线上a'点区域的曲率半径大于滚剃刀蜗杆齿形上a 点区域的曲率半径，双曲线上b'点区域的曲率半径小于滚剃刀蜗杆齿形上b 点区域的曲率半径。拟合时，会出现三个交点并产生四个拟合极值误差e1、e2、e3、e4。如图4所示，当达到*拟合时，有e1=-e2=e3=-e4，由此可建立优化目标函数f=|e1+e2|+|e2+e3|+|e3+e4|+|e1+e4|。砂轮的双曲线形状由参数h、a确定，砂轮位置由参数z0、x1、b确定。虽然砂轮的形状和位置由五个参数确定，但拟合曲线只有三个交点，即只能求出其中三个参数。为此，优化计算时可将其中两个参数（x0，b）作为约束条件，其余三个参数作为设计变量，反映为三个交点的不断移动变化。当f趋近于0时，即达到*拟合，求得zui大拟合误差?e=max{|e1-e2|，|e3-e2|，|e1-e4|，|e3-e4|}。由三个确定的交点可求出三个设计变量，加上两个给定参数，即可确定砂轮的形状和位置。4 造型误差计算实例设大模数硬齿面滚剃刀的基本参数为：法面模数mn=14mm，法面齿形角an=20°，顶圆外径d=290mm，分圆螺旋升角g=3°7'，单头，右旋。采用上述三种近似造型方法对滚剃刀法截面齿形进行近似造型误差仿真计算。计算结果见右表。 近似造型仿真计算误差表 造型方法 造型误差（?m）
e1 e2 e3 e4 ?e
直线拟合 5.89 -5.84 5.86 … 11.73
圆弧拟合 0.326 -0.384 0.308 -0.329 0.674
双曲线拟合 0.577 -0.503 0.570 -0.56 1.133
由右表可知，直线拟合的造型误差zui大（?e=11.73?m）；双曲线拟合的造型误差较小（?e=1.133?m）；圆弧拟合的造型误差zui小 （?e= 0.674?m）。由于滚剃刀迄今尚未制定相关精度标准，因此可暂时套用滚刀精度标准。iso4468-1982和gb6064-85 标准规定模数mn>10～16mm的a*滚刀的齿形允差为10?m。对照表1结果可知，直线拟合的造型误差大于标准规定齿形允差，不能使用；圆弧拟合和双曲线拟合的造型误差远小于标准允差，是较理想的造型曲线。由于双曲线具有按直线修整砂轮的特点，因此是近似造型的曲线。 5 结论对大模数硬齿面滚剃刀渐开线蜗杆齿槽分圆法截面齿形进行了近似造型计算与分析，结果表明：直线拟合法的误差较大，超过标准规定的齿形允差，不能使用；圆弧拟合法误差zui小；双曲线拟合法误差也很小，且可按直线方式修整砂轮，是较理想的近似造型方法。
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图1 直线造型误差
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直线拟合法 用直线拟合滚剃刀渐开线蜗杆法截面齿形曲线显然可降低砂轮修整难度，但由此产生的近似造型误差能否保证要求的齿形精度则需通过计算予以验证。为使直线与滚剃刀渐开线蜗杆法截面齿形曲线的拟合达到*状态，它们之间必须具有两个交点，由此产生的三个拟合误差极值如图1所示。e1、e3分别为齿根、齿顶的zui大拟合误差，e2为齿中部某点的zui大拟合误差。为实现*拟合，应使三个拟合误差的值相等，即e1=-e2=e3，zui大拟合误差?e=max{|e1-e2|，|e3-e2|}。可通过优化计算实现上述要求。 拟合时，首先设直线方程为x=kz+c，确定e1、e2、e3的计算公式后，建立目标函数f=|e1+e2|+|e2+e3|，设计变量为直线斜率k 和常数c，可通过两个交点的不断移动变化来反映。当f 趋近于0时，即达到*拟合，根据交点位置可求出k、c 值，从而确定直线位置。 圆弧拟合法 图2 所示为用圆弧拟合滚剃刀渐开线蜗杆法截面齿形曲线。渐开线蜗杆法截面齿形曲线仍具有渐开线性质，即距基圆越近的点其曲率半径越小，距基圆越远的点其曲率半径越大。在图2 所示法截面齿形中，a点代表齿根，接近基圆，b 点代表齿顶，远离基圆，a点到b点的曲率半径由小变大。由于圆弧上各点的曲率半径相同，因此若选取一个曲率半径大于a点、小于b点的圆弧与法截面齿形曲线拟合造型，会出现三个交点和四个拟合极值误差e1、e2、e3、e4。为达到*拟合，提高造型精度，需不断改变三个交点的位置，使e1=-e2=e3=-e4，并据此进行优化计算。 拟合时，设拟合圆弧方程为（z-zc）2+（x-xc）2=r2，则拟合极值误差为 ei=r-[（zi-zc）2+（x1-xc）2]? （i=1，2，3，4）式中：r——拟合圆弧半径 zc，xc——拟合圆弧的圆心坐标 z1，x1——滚剃刀渐开线蜗杆法截面曲线拟合极值误差处的坐标 建立优化目标函数为f=|e1+e2|+|e2+e3|+|e3+e4|+|e1+e4|，设计变量为zc、xc、r，优化计算时反映为三个交点的不断移动变化。当f 趋近于0时，即达到*拟合，求得zui大拟合误差?e=max{|e1-e2|，|e3-e2|，|e1-e4|，|e3-e4|}。根据*拟合状态下三个交点的位置，即可求出zc、xc、r 值，从而确定拟合圆弧的位置和半径。
图3 双曲线拟合
图4 双曲线造型误差
双曲线拟合法 一条与回转轴距离为h、倾斜角为a的直线绕回转轴旋转，可得到一个方程为x2/h2+y2/h2-z2/（h/tana）2=1 的回转双曲面。沿双曲面回转轴线任意方向剖开均可得到双曲线，按该直线轨迹修整砂轮可得到轴截面为双曲线的砂轮。图3所示为用双曲线拟合滚剃刀渐开线蜗杆的法截面齿形曲线。双曲线是绕砂轮轴旋转获得的，其坐标系为o'-z'x'，线段a'b'为双曲线上的一段。o-zx 为滚剃刀法截面齿形曲线所在坐标系，ab 为滚剃刀的法截面齿形曲线，a表示齿根，b表示齿顶。两曲线拟合时，需对o'-z'x'坐标系进行坐标变换，经平移、旋转后与ozx坐标系重和，并使两曲线的坐标系相同。 由于滚剃刀法截面齿形曲线的曲率半径从a点到b点逐渐变大，根据曲率半径公式求得双曲线曲率半径从a'点到b'点逐渐变小，因此应选择合适参数使双曲线上a'点区域的曲率半径大于滚剃刀蜗杆齿形上a 点区域的曲率半径，双曲线上b'点区域的曲率半径小于滚剃刀蜗杆齿形上b 点区域的曲率半径。拟合时，会出现三个交点并产生四个拟合极值误差e1、e2、e3、e4。如图4所示，当达到*拟合时，有e1=-e2=e3=-e4，由此可建立优化目标函数f=|e1+e2|+|e2+e3|+|e3+e4|+|e1+e4|。砂轮的双曲线形状由参数h、a确定，砂轮位置由参数z0、x1、b确定。虽然砂轮的形状和位置由五个参数确定，但拟合曲线只有三个交点，即只能求出其中三个参数。为此，优化计算时可将其中两个参数（x0，b）作为约束条件，其余三个参数作为设计变量，反映为三个交点的不断移动变化。当f趋近于0时，即达到*拟合，求得zui大拟合误差?e=max{|e1-e2|，|e3-e2|，|e1-e4|，|e3-e4|}。由三个确定的交点可求出三个设计变量，加上两个给定参数，即可确定砂轮的形状和位置。4 造型误差计算实例设大模数硬齿面滚剃刀的基本参数为：法面模数mn=14mm，法面齿形角an=20°，顶圆外径d=290mm，分圆螺旋升角g=3°7'，单头，右旋。采用上述三种近似造型方法对滚剃刀法截面齿形进行近似造型误差仿真计算。计算结果见右表。 近似造型仿真计算误差表 造型方法 造型误差（?m）
e1 e2 e3 e4 ?e
直线拟合 5.89 -5.84 5.86 … 11.73
圆弧拟合 0.326 -0.384 0.308 -0.329 0.674
双曲线拟合 0.577 -0.503 0.570 -0.56 1.133
由右表可知，直线拟合的造型误差zui大（?e=11.73?m）；双曲线拟合的造型误差较小（?e=1.133?m）；圆弧拟合的造型误差zui小 （?e= 0.674?m）。由于滚剃刀迄今尚未制定相关精度标准，因此可暂时套用滚刀精度标准。iso4468-1982和gb6064-85 标准规定模数mn>10～16mm的a*滚刀的齿形允差为10?m。对照表1结果可知，直线拟合的造型误差大于标准规定齿形允差，不能使用；圆弧拟合和双曲线拟合的造型误差远小于标准允差，是较理想的造型曲线。由于双曲线具有按直线修整砂轮的特点，因此是近似造型的曲线。 5 结论对大模数硬齿面滚剃刀渐开线蜗杆齿槽分圆法截面齿形进行了近似造型计算与分析，结果表明：直线拟合法的误差较大，超过标准规定的齿形允差，不能使用；圆弧拟合法误差zui小；双曲线拟合法误差也很小，且可按直线方式修整砂轮，是较理想的近似造型方法。
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